\(\int \frac {\cos ^2(c+d x) (A+C \cos ^2(c+d x))}{(a+b \cos (c+d x))^3} \, dx\) [579]

Optimal result

Integrand size = 33, antiderivative size = 262 \[ \int \frac {\cos ^2(c+d x) \left (A+C \cos ^2(c+d x)\right )}{(a+b \cos (c+d x))^3} \, dx=-\frac {3 a C x}{b^4}+\frac {\left (2 A b^6+6 a^6 C-15 a^4 b^2 C+a^2 b^4 (A+12 C)\right ) \arctan \left (\frac {\sqrt {a-b} \tan \left (\frac {1}{2} (c+d x)\right )}{\sqrt {a+b}}\right )}{(a-b)^{5/2} b^4 (a+b)^{5/2} d}+\frac {\left (A b^2+3 a^2 C-2 b^2 C\right ) \sin (c+d x)}{2 b^3 \left (a^2-b^2\right ) d}-\frac {\left (A b^2+a^2 C\right ) \cos ^2(c+d x) \sin (c+d x)}{2 b \left (a^2-b^2\right ) d (a+b \cos (c+d x))^2}-\frac {a \left (2 A b^4-3 a^4 C+a^2 b^2 (A+6 C)\right ) \sin (c+d x)}{2 b^3 \left (a^2-b^2\right )^2 d (a+b \cos (c+d x))} \]

[Out]

-3*a*C*x/b^4+(2*A*b^6+6*a^6*C-15*a^4*b^2*C+a^2*b^4*(A+12*C))*arctan((a-b)^(1/2)*tan(1/2*d*x+1/2*c)/(a+b)^(1/2)
)/(a-b)^(5/2)/b^4/(a+b)^(5/2)/d+1/2*(A*b^2+3*C*a^2-2*C*b^2)*sin(d*x+c)/b^3/(a^2-b^2)/d-1/2*(A*b^2+C*a^2)*cos(d
*x+c)^2*sin(d*x+c)/b/(a^2-b^2)/d/(a+b*cos(d*x+c))^2-1/2*a*(2*A*b^4-3*a^4*C+a^2*b^2*(A+6*C))*sin(d*x+c)/b^3/(a^
2-b^2)^2/d/(a+b*cos(d*x+c))

Rubi [A] (verified)

Time = 0.91 (sec) , antiderivative size = 262, normalized size of antiderivative = 1.00, number of steps used = 6, number of rules used = 6, \(\frac {\text {number of rules}}{\text {integrand size}}\) = 0.182, Rules used = {3127, 3110, 3102, 2814, 2738, 211} \[ \int \frac {\cos ^2(c+d x) \left (A+C \cos ^2(c+d x)\right )}{(a+b \cos (c+d x))^3} \, dx=-\frac {\left (a^2 C+A b^2\right ) \sin (c+d x) \cos ^2(c+d x)}{2 b d \left (a^2-b^2\right ) (a+b \cos (c+d x))^2}+\frac {\left (3 a^2 C+A b^2-2 b^2 C\right ) \sin (c+d x)}{2 b^3 d \left (a^2-b^2\right )}-\frac {a \left (-3 a^4 C+a^2 b^2 (A+6 C)+2 A b^4\right ) \sin (c+d x)}{2 b^3 d \left (a^2-b^2\right )^2 (a+b \cos (c+d x))}+\frac {\left (6 a^6 C-15 a^4 b^2 C+a^2 b^4 (A+12 C)+2 A b^6\right ) \arctan \left (\frac {\sqrt {a-b} \tan \left (\frac {1}{2} (c+d x)\right )}{\sqrt {a+b}}\right )}{b^4 d (a-b)^{5/2} (a+b)^{5/2}}-\frac {3 a C x}{b^4} \]

[In]

Int[(Cos[c + d*x]^2*(A + C*Cos[c + d*x]^2))/(a + b*Cos[c + d*x])^3,x]

[Out]

(-3*a*C*x)/b^4 + ((2*A*b^6 + 6*a^6*C - 15*a^4*b^2*C + a^2*b^4*(A + 12*C))*ArcTan[(Sqrt[a - b]*Tan[(c + d*x)/2]
)/Sqrt[a + b]])/((a - b)^(5/2)*b^4*(a + b)^(5/2)*d) + ((A*b^2 + 3*a^2*C - 2*b^2*C)*Sin[c + d*x])/(2*b^3*(a^2 -
b^2)*d) - ((A*b^2 + a^2*C)*Cos[c + d*x]^2*Sin[c + d*x])/(2*b*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Cos[c + d*x])^2) - (a*(2*A*
b^4 - 3*a^4*C + a^2*b^2*(A + 6*C))*Sin[c + d*x])/(2*b^3*(a^2 - b^2)^2*d*(a + b*Cos[c + d*x]))

Rule 211

Int[((a_) + (b_.)*(x_)^2)^(-1), x_Symbol] :> Simp[(Rt[a/b, 2]/a)*ArcTan[x/Rt[a/b, 2]], x] /; FreeQ[{a, b}, x]
&& PosQ[a/b]

Rule 2738

Int[((a_) + (b_.)*sin[Pi/2 + (c_.) + (d_.)*(x_)])^(-1), x_Symbol] :> With[{e = FreeFactors[Tan[(c + d*x)/2], x
]}, Dist[2*(e/d), Subst[Int[1/(a + b + (a - b)*e^2*x^2), x], x, Tan[(c + d*x)/2]/e], x]] /; FreeQ[{a, b, c, d}
, x] && NeQ[a^2 - b^2, 0]

Rule 2814

Int[((a_.) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])/((c_.) + (d_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)]), x_Symbol] :> Simp[b*(x/d)
, x] - Dist[(b*c - a*d)/d, Int[1/(c + d*Sin[e + f*x]), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f}, x] && NeQ[b*c - a*d
, 0]

Rule 3102

Int[((a_.) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_.)*((A_.) + (B_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)] + (C_.)*sin[(e_.) + (
f_.)*(x_)]^2), x_Symbol] :> Simp[(-C)*Cos[e + f*x]*((a + b*Sin[e + f*x])^(m + 1)/(b*f*(m + 2))), x] + Dist[1/(
b*(m + 2)), Int[(a + b*Sin[e + f*x])^m*Simp[A*b*(m + 2) + b*C*(m + 1) + (b*B*(m + 2) - a*C)*Sin[e + f*x], x],
x], x] /; FreeQ[{a, b, e, f, A, B, C, m}, x] &&  !LtQ[m, -1]

Rule 3110

Int[((a_.) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_)*((c_.) + (d_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])*((A_.) + (B_.)*sin[(e
_.) + (f_.)*(x_)] + (C_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)]^2), x_Symbol] :> Simp[(-(b*c - a*d))*(A*b^2 - a*b*B + a^2*C)
*Cos[e + f*x]*((a + b*Sin[e + f*x])^(m + 1)/(b^2*f*(m + 1)*(a^2 - b^2))), x] - Dist[1/(b^2*(m + 1)*(a^2 - b^2)
), Int[(a + b*Sin[e + f*x])^(m + 1)*Simp[b*(m + 1)*((b*B - a*C)*(b*c - a*d) - A*b*(a*c - b*d)) + (b*B*(a^2*d +
b^2*d*(m + 1) - a*b*c*(m + 2)) + (b*c - a*d)*(A*b^2*(m + 2) + C*(a^2 + b^2*(m + 1))))*Sin[e + f*x] - b*C*d*(m
+ 1)*(a^2 - b^2)*Sin[e + f*x]^2, x], x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, A, B, C}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] &&
NeQ[a^2 - b^2, 0] && LtQ[m, -1]

Rule 3127

Int[((a_.) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_)*((c_.) + (d_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(n_)*((A_.) + (C_.)*s
in[(e_.) + (f_.)*(x_)]^2), x_Symbol] :> Simp[(-(c^2*C + A*d^2))*Cos[e + f*x]*(a + b*Sin[e + f*x])^m*((c + d*Si
n[e + f*x])^(n + 1)/(d*f*(n + 1)*(c^2 - d^2))), x] + Dist[1/(d*(n + 1)*(c^2 - d^2)), Int[(a + b*Sin[e + f*x])^
(m - 1)*(c + d*Sin[e + f*x])^(n + 1)*Simp[A*d*(b*d*m + a*c*(n + 1)) + c*C*(b*c*m + a*d*(n + 1)) - (A*d*(a*d*(n
+ 2) - b*c*(n + 1)) - C*(b*c*d*(n + 1) - a*(c^2 + d^2*(n + 1))))*Sin[e + f*x] - b*(A*d^2*(m + n + 2) + C*(c^2
*(m + 1) + d^2*(n + 1)))*Sin[e + f*x]^2, x], x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, A, C}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0]
&& NeQ[a^2 - b^2, 0] && NeQ[c^2 - d^2, 0] && GtQ[m, 0] && LtQ[n, -1]

Rubi steps \begin{align*} \text {integral}& = -\frac {\left (A b^2+a^2 C\right ) \cos ^2(c+d x) \sin (c+d x)}{2 b \left (a^2-b^2\right ) d (a+b \cos (c+d x))^2}-\frac {\int \frac {\cos (c+d x) \left (2 \left (A b^2+a^2 C\right )-2 a b (A+C) \cos (c+d x)-\left (A b^2+3 a^2 C-2 b^2 C\right ) \cos ^2(c+d x)\right )}{(a+b \cos (c+d x))^2} \, dx}{2 b \left (a^2-b^2\right )} \\ & = -\frac {\left (A b^2+a^2 C\right ) \cos ^2(c+d x) \sin (c+d x)}{2 b \left (a^2-b^2\right ) d (a+b \cos (c+d x))^2}-\frac {a \left (2 A b^4-3 a^4 C+a^2 b^2 (A+6 C)\right ) \sin (c+d x)}{2 b^3 \left (a^2-b^2\right )^2 d (a+b \cos (c+d x))}-\frac {\int \frac {-b \left (2 A b^4-3 a^4 C+a^2 b^2 (A+6 C)\right )-a \left (a^2-b^2\right ) \left (A b^2-3 a^2 C+4 b^2 C\right ) \cos (c+d x)-b \left (a^2-b^2\right ) \left (A b^2+3 a^2 C-2 b^2 C\right ) \cos ^2(c+d x)}{a+b \cos (c+d x)} \, dx}{2 b^3 \left (a^2-b^2\right )^2} \\ & = \frac {\left (A b^2+3 a^2 C-2 b^2 C\right ) \sin (c+d x)}{2 b^3 \left (a^2-b^2\right ) d}-\frac {\left (A b^2+a^2 C\right ) \cos ^2(c+d x) \sin (c+d x)}{2 b \left (a^2-b^2\right ) d (a+b \cos (c+d x))^2}-\frac {a \left (2 A b^4-3 a^4 C+a^2 b^2 (A+6 C)\right ) \sin (c+d x)}{2 b^3 \left (a^2-b^2\right )^2 d (a+b \cos (c+d x))}-\frac {\int \frac {-b^2 \left (2 A b^4-3 a^4 C+a^2 b^2 (A+6 C)\right )+6 a b \left (a^2-b^2\right )^2 C \cos (c+d x)}{a+b \cos (c+d x)} \, dx}{2 b^4 \left (a^2-b^2\right )^2} \\ & = -\frac {3 a C x}{b^4}+\frac {\left (A b^2+3 a^2 C-2 b^2 C\right ) \sin (c+d x)}{2 b^3 \left (a^2-b^2\right ) d}-\frac {\left (A b^2+a^2 C\right ) \cos ^2(c+d x) \sin (c+d x)}{2 b \left (a^2-b^2\right ) d (a+b \cos (c+d x))^2}-\frac {a \left (2 A b^4-3 a^4 C+a^2 b^2 (A+6 C)\right ) \sin (c+d x)}{2 b^3 \left (a^2-b^2\right )^2 d (a+b \cos (c+d x))}+\frac {\left (2 A b^6+6 a^6 C-15 a^4 b^2 C+a^2 b^4 (A+12 C)\right ) \int \frac {1}{a+b \cos (c+d x)} \, dx}{2 b^4 \left (a^2-b^2\right )^2} \\ & = -\frac {3 a C x}{b^4}+\frac {\left (A b^2+3 a^2 C-2 b^2 C\right ) \sin (c+d x)}{2 b^3 \left (a^2-b^2\right ) d}-\frac {\left (A b^2+a^2 C\right ) \cos ^2(c+d x) \sin (c+d x)}{2 b \left (a^2-b^2\right ) d (a+b \cos (c+d x))^2}-\frac {a \left (2 A b^4-3 a^4 C+a^2 b^2 (A+6 C)\right ) \sin (c+d x)}{2 b^3 \left (a^2-b^2\right )^2 d (a+b \cos (c+d x))}+\frac {\left (2 A b^6+6 a^6 C-15 a^4 b^2 C+a^2 b^4 (A+12 C)\right ) \text {Subst}\left (\int \frac {1}{a+b+(a-b) x^2} \, dx,x,\tan \left (\frac {1}{2} (c+d x)\right )\right )}{b^4 \left (a^2-b^2\right )^2 d} \\ & = -\frac {3 a C x}{b^4}+\frac {\left (a^2 A b^4+2 A b^6+6 a^6 C-15 a^4 b^2 C+12 a^2 b^4 C\right ) \arctan \left (\frac {\sqrt {a-b} \tan \left (\frac {1}{2} (c+d x)\right )}{\sqrt {a+b}}\right )}{(a-b)^{5/2} b^4 (a+b)^{5/2} d}+\frac {\left (A b^2+3 a^2 C-2 b^2 C\right ) \sin (c+d x)}{2 b^3 \left (a^2-b^2\right ) d}-\frac {\left (A b^2+a^2 C\right ) \cos ^2(c+d x) \sin (c+d x)}{2 b \left (a^2-b^2\right ) d (a+b \cos (c+d x))^2}-\frac {a \left (2 A b^4-3 a^4 C+a^2 b^2 (A+6 C)\right ) \sin (c+d x)}{2 b^3 \left (a^2-b^2\right )^2 d (a+b \cos (c+d x))} \\ \end{align*}

Mathematica [A] (verified)

Time = 3.02 (sec) , antiderivative size = 214, normalized size of antiderivative = 0.82 \[ \int \frac {\cos ^2(c+d x) \left (A+C \cos ^2(c+d x)\right )}{(a+b \cos (c+d x))^3} \, dx=\frac {-6 a C (c+d x)-\frac {2 \left (2 A b^6+6 a^6 C-15 a^4 b^2 C+a^2 b^4 (A+12 C)\right ) \text {arctanh}\left (\frac {(a-b) \tan \left (\frac {1}{2} (c+d x)\right )}{\sqrt {-a^2+b^2}}\right )}{\left (-a^2+b^2\right )^{5/2}}+2 b C \sin (c+d x)-\frac {a^2 b \left (A b^2+a^2 C\right ) \sin (c+d x)}{(a-b) (a+b) (a+b \cos (c+d x))^2}+\frac {a b \left (-4 A b^4+a^2 b^2 (A-8 C)+5 a^4 C\right ) \sin (c+d x)}{(a-b)^2 (a+b)^2 (a+b \cos (c+d x))}}{2 b^4 d} \]

[In]

Integrate[(Cos[c + d*x]^2*(A + C*Cos[c + d*x]^2))/(a + b*Cos[c + d*x])^3,x]

[Out]

(-6*a*C*(c + d*x) - (2*(2*A*b^6 + 6*a^6*C - 15*a^4*b^2*C + a^2*b^4*(A + 12*C))*ArcTanh[((a - b)*Tan[(c + d*x)/
2])/Sqrt[-a^2 + b^2]])/(-a^2 + b^2)^(5/2) + 2*b*C*Sin[c + d*x] - (a^2*b*(A*b^2 + a^2*C)*Sin[c + d*x])/((a - b)
*(a + b)*(a + b*Cos[c + d*x])^2) + (a*b*(-4*A*b^4 + a^2*b^2*(A - 8*C) + 5*a^4*C)*Sin[c + d*x])/((a - b)^2*(a +
b)^2*(a + b*Cos[c + d*x])))/(2*b^4*d)

Maple [A] (verified)

Time = 2.44 (sec) , antiderivative size = 323, normalized size of antiderivative = 1.23

method	result	size
derivativedivides	\(\frac {\frac {\frac {2 \left (-\frac {\left (A a \,b^{3}+4 A \,b^{4}-4 C \,a^{4}+C \,a^{3} b +8 C \,a^{2} b^{2}\right ) a b \left (\tan ^{3}\left (\frac {d x}{2}+\frac {c}{2}\right )\right )}{2 \left (a -b \right ) \left (a^{2}+2 a b +b^{2}\right )}+\frac {\left (A a \,b^{3}-4 A \,b^{4}+4 C \,a^{4}+C \,a^{3} b -8 C \,a^{2} b^{2}\right ) a b \tan \left (\frac {d x}{2}+\frac {c}{2}\right )}{2 \left (a +b \right ) \left (a^{2}-2 a b +b^{2}\right )}\right )}{{\left (\left (\tan ^{2}\left (\frac {d x}{2}+\frac {c}{2}\right )\right ) a -b \left (\tan ^{2}\left (\frac {d x}{2}+\frac {c}{2}\right )\right )+a +b \right )}^{2}}+\frac {\left (A \,a^{2} b^{4}+2 A \,b^{6}+6 C \,a^{6}-15 C \,a^{4} b^{2}+12 C \,a^{2} b^{4}\right ) \arctan \left (\frac {\left (a -b \right ) \tan \left (\frac {d x}{2}+\frac {c}{2}\right )}{\sqrt {\left (a -b \right ) \left (a +b \right )}}\right )}{\left (a^{4}-2 a^{2} b^{2}+b^{4}\right ) \sqrt {\left (a -b \right ) \left (a +b \right )}}}{b^{4}}-\frac {2 C \left (-\frac {b \tan \left (\frac {d x}{2}+\frac {c}{2}\right )}{1+\tan ^{2}\left (\frac {d x}{2}+\frac {c}{2}\right )}+3 a \arctan \left (\tan \left (\frac {d x}{2}+\frac {c}{2}\right )\right )\right )}{b^{4}}}{d}\)	\(323\)
default	\(\frac {\frac {\frac {2 \left (-\frac {\left (A a \,b^{3}+4 A \,b^{4}-4 C \,a^{4}+C \,a^{3} b +8 C \,a^{2} b^{2}\right ) a b \left (\tan ^{3}\left (\frac {d x}{2}+\frac {c}{2}\right )\right )}{2 \left (a -b \right ) \left (a^{2}+2 a b +b^{2}\right )}+\frac {\left (A a \,b^{3}-4 A \,b^{4}+4 C \,a^{4}+C \,a^{3} b -8 C \,a^{2} b^{2}\right ) a b \tan \left (\frac {d x}{2}+\frac {c}{2}\right )}{2 \left (a +b \right ) \left (a^{2}-2 a b +b^{2}\right )}\right )}{{\left (\left (\tan ^{2}\left (\frac {d x}{2}+\frac {c}{2}\right )\right ) a -b \left (\tan ^{2}\left (\frac {d x}{2}+\frac {c}{2}\right )\right )+a +b \right )}^{2}}+\frac {\left (A \,a^{2} b^{4}+2 A \,b^{6}+6 C \,a^{6}-15 C \,a^{4} b^{2}+12 C \,a^{2} b^{4}\right ) \arctan \left (\frac {\left (a -b \right ) \tan \left (\frac {d x}{2}+\frac {c}{2}\right )}{\sqrt {\left (a -b \right ) \left (a +b \right )}}\right )}{\left (a^{4}-2 a^{2} b^{2}+b^{4}\right ) \sqrt {\left (a -b \right ) \left (a +b \right )}}}{b^{4}}-\frac {2 C \left (-\frac {b \tan \left (\frac {d x}{2}+\frac {c}{2}\right )}{1+\tan ^{2}\left (\frac {d x}{2}+\frac {c}{2}\right )}+3 a \arctan \left (\tan \left (\frac {d x}{2}+\frac {c}{2}\right )\right )\right )}{b^{4}}}{d}\)	\(323\)
risch	\(\text {Expression too large to display}\)	\(1228\)

[In]

int(cos(d*x+c)^2*(A+C*cos(d*x+c)^2)/(a+cos(d*x+c)*b)^3,x,method=_RETURNVERBOSE)

[Out]

1/d*(2/b^4*((-1/2*(A*a*b^3+4*A*b^4-4*C*a^4+C*a^3*b+8*C*a^2*b^2)*a*b/(a-b)/(a^2+2*a*b+b^2)*tan(1/2*d*x+1/2*c)^3
+1/2*(A*a*b^3-4*A*b^4+4*C*a^4+C*a^3*b-8*C*a^2*b^2)*a*b/(a+b)/(a^2-2*a*b+b^2)*tan(1/2*d*x+1/2*c))/(tan(1/2*d*x+
1/2*c)^2*a-b*tan(1/2*d*x+1/2*c)^2+a+b)^2+1/2*(A*a^2*b^4+2*A*b^6+6*C*a^6-15*C*a^4*b^2+12*C*a^2*b^4)/(a^4-2*a^2*
b^2+b^4)/((a-b)*(a+b))^(1/2)*arctan((a-b)*tan(1/2*d*x+1/2*c)/((a-b)*(a+b))^(1/2)))-2*C/b^4*(-b*tan(1/2*d*x+1/2
*c)/(1+tan(1/2*d*x+1/2*c)^2)+3*a*arctan(tan(1/2*d*x+1/2*c))))

Fricas [B] (verification not implemented)

Leaf count of result is larger than twice the leaf count of optimal. 567 vs. \(2 (248) = 496\).

Time = 0.35 (sec) , antiderivative size = 1202, normalized size of antiderivative = 4.59 \[ \int \frac {\cos ^2(c+d x) \left (A+C \cos ^2(c+d x)\right )}{(a+b \cos (c+d x))^3} \, dx=\text {Too large to display} \]

[In]

integrate(cos(d*x+c)^2*(A+C*cos(d*x+c)^2)/(a+b*cos(d*x+c))^3,x, algorithm="fricas")

[Out]

[-1/4*(12*(C*a^7*b^2 - 3*C*a^5*b^4 + 3*C*a^3*b^6 - C*a*b^8)*d*x*cos(d*x + c)^2 + 24*(C*a^8*b - 3*C*a^6*b^3 + 3
*C*a^4*b^5 - C*a^2*b^7)*d*x*cos(d*x + c) + 12*(C*a^9 - 3*C*a^7*b^2 + 3*C*a^5*b^4 - C*a^3*b^6)*d*x + (6*C*a^8 -
15*C*a^6*b^2 + (A + 12*C)*a^4*b^4 + 2*A*a^2*b^6 + (6*C*a^6*b^2 - 15*C*a^4*b^4 + (A + 12*C)*a^2*b^6 + 2*A*b^8)
*cos(d*x + c)^2 + 2*(6*C*a^7*b - 15*C*a^5*b^3 + (A + 12*C)*a^3*b^5 + 2*A*a*b^7)*cos(d*x + c))*sqrt(-a^2 + b^2)
*log((2*a*b*cos(d*x + c) + (2*a^2 - b^2)*cos(d*x + c)^2 + 2*sqrt(-a^2 + b^2)*(a*cos(d*x + c) + b)*sin(d*x + c)
- a^2 + 2*b^2)/(b^2*cos(d*x + c)^2 + 2*a*b*cos(d*x + c) + a^2)) - 2*(6*C*a^8*b - 17*C*a^6*b^3 - (3*A - 13*C)*
a^4*b^5 + (3*A - 2*C)*a^2*b^7 + 2*(C*a^6*b^3 - 3*C*a^4*b^5 + 3*C*a^2*b^7 - C*b^9)*cos(d*x + c)^2 + (9*C*a^7*b^
2 + (A - 25*C)*a^5*b^4 - 5*(A - 4*C)*a^3*b^6 + 4*(A - C)*a*b^8)*cos(d*x + c))*sin(d*x + c))/((a^6*b^6 - 3*a^4*
b^8 + 3*a^2*b^10 - b^12)*d*cos(d*x + c)^2 + 2*(a^7*b^5 - 3*a^5*b^7 + 3*a^3*b^9 - a*b^11)*d*cos(d*x + c) + (a^8
*b^4 - 3*a^6*b^6 + 3*a^4*b^8 - a^2*b^10)*d), -1/2*(6*(C*a^7*b^2 - 3*C*a^5*b^4 + 3*C*a^3*b^6 - C*a*b^8)*d*x*cos
(d*x + c)^2 + 12*(C*a^8*b - 3*C*a^6*b^3 + 3*C*a^4*b^5 - C*a^2*b^7)*d*x*cos(d*x + c) + 6*(C*a^9 - 3*C*a^7*b^2 +
3*C*a^5*b^4 - C*a^3*b^6)*d*x - (6*C*a^8 - 15*C*a^6*b^2 + (A + 12*C)*a^4*b^4 + 2*A*a^2*b^6 + (6*C*a^6*b^2 - 15
*C*a^4*b^4 + (A + 12*C)*a^2*b^6 + 2*A*b^8)*cos(d*x + c)^2 + 2*(6*C*a^7*b - 15*C*a^5*b^3 + (A + 12*C)*a^3*b^5 +
2*A*a*b^7)*cos(d*x + c))*sqrt(a^2 - b^2)*arctan(-(a*cos(d*x + c) + b)/(sqrt(a^2 - b^2)*sin(d*x + c))) - (6*C*
a^8*b - 17*C*a^6*b^3 - (3*A - 13*C)*a^4*b^5 + (3*A - 2*C)*a^2*b^7 + 2*(C*a^6*b^3 - 3*C*a^4*b^5 + 3*C*a^2*b^7 -
C*b^9)*cos(d*x + c)^2 + (9*C*a^7*b^2 + (A - 25*C)*a^5*b^4 - 5*(A - 4*C)*a^3*b^6 + 4*(A - C)*a*b^8)*cos(d*x +
c))*sin(d*x + c))/((a^6*b^6 - 3*a^4*b^8 + 3*a^2*b^10 - b^12)*d*cos(d*x + c)^2 + 2*(a^7*b^5 - 3*a^5*b^7 + 3*a^3
*b^9 - a*b^11)*d*cos(d*x + c) + (a^8*b^4 - 3*a^6*b^6 + 3*a^4*b^8 - a^2*b^10)*d)]

Sympy [F(-1)]

Timed out. \[ \int \frac {\cos ^2(c+d x) \left (A+C \cos ^2(c+d x)\right )}{(a+b \cos (c+d x))^3} \, dx=\text {Timed out} \]

[In]

integrate(cos(d*x+c)**2*(A+C*cos(d*x+c)**2)/(a+b*cos(d*x+c))**3,x)

[Out]

Timed out

Maxima [F(-2)]

Exception generated. \[ \int \frac {\cos ^2(c+d x) \left (A+C \cos ^2(c+d x)\right )}{(a+b \cos (c+d x))^3} \, dx=\text {Exception raised: ValueError} \]

[In]

integrate(cos(d*x+c)^2*(A+C*cos(d*x+c)^2)/(a+b*cos(d*x+c))^3,x, algorithm="maxima")

[Out]

Exception raised: ValueError >> Computation failed since Maxima requested additional constraints; using the 'a
ssume' command before evaluation *may* help (example of legal syntax is 'assume(4*b^2-4*a^2>0)', see `assume?`
for more de

Giac [A] (verification not implemented)

none

Time = 0.37 (sec) , antiderivative size = 489, normalized size of antiderivative = 1.87 \[ \int \frac {\cos ^2(c+d x) \left (A+C \cos ^2(c+d x)\right )}{(a+b \cos (c+d x))^3} \, dx=-\frac {\frac {{\left (6 \, C a^{6} - 15 \, C a^{4} b^{2} + A a^{2} b^{4} + 12 \, C a^{2} b^{4} + 2 \, A b^{6}\right )} {\left (\pi \left \lfloor \frac {d x + c}{2 \, \pi } + \frac {1}{2} \right \rfloor \mathrm {sgn}\left (-2 \, a + 2 \, b\right ) + \arctan \left (-\frac {a \tan \left (\frac {1}{2} \, d x + \frac {1}{2} \, c\right ) - b \tan \left (\frac {1}{2} \, d x + \frac {1}{2} \, c\right )}{\sqrt {a^{2} - b^{2}}}\right )\right )}}{{\left (a^{4} b^{4} - 2 \, a^{2} b^{6} + b^{8}\right )} \sqrt {a^{2} - b^{2}}} + \frac {3 \, {\left (d x + c\right )} C a}{b^{4}} - \frac {4 \, C a^{6} \tan \left (\frac {1}{2} \, d x + \frac {1}{2} \, c\right )^{3} - 5 \, C a^{5} b \tan \left (\frac {1}{2} \, d x + \frac {1}{2} \, c\right )^{3} - 7 \, C a^{4} b^{2} \tan \left (\frac {1}{2} \, d x + \frac {1}{2} \, c\right )^{3} - A a^{3} b^{3} \tan \left (\frac {1}{2} \, d x + \frac {1}{2} \, c\right )^{3} + 8 \, C a^{3} b^{3} \tan \left (\frac {1}{2} \, d x + \frac {1}{2} \, c\right )^{3} - 3 \, A a^{2} b^{4} \tan \left (\frac {1}{2} \, d x + \frac {1}{2} \, c\right )^{3} + 4 \, A a b^{5} \tan \left (\frac {1}{2} \, d x + \frac {1}{2} \, c\right )^{3} + 4 \, C a^{6} \tan \left (\frac {1}{2} \, d x + \frac {1}{2} \, c\right ) + 5 \, C a^{5} b \tan \left (\frac {1}{2} \, d x + \frac {1}{2} \, c\right ) - 7 \, C a^{4} b^{2} \tan \left (\frac {1}{2} \, d x + \frac {1}{2} \, c\right ) + A a^{3} b^{3} \tan \left (\frac {1}{2} \, d x + \frac {1}{2} \, c\right ) - 8 \, C a^{3} b^{3} \tan \left (\frac {1}{2} \, d x + \frac {1}{2} \, c\right ) - 3 \, A a^{2} b^{4} \tan \left (\frac {1}{2} \, d x + \frac {1}{2} \, c\right ) - 4 \, A a b^{5} \tan \left (\frac {1}{2} \, d x + \frac {1}{2} \, c\right )}{{\left (a^{4} b^{3} - 2 \, a^{2} b^{5} + b^{7}\right )} {\left (a \tan \left (\frac {1}{2} \, d x + \frac {1}{2} \, c\right )^{2} - b \tan \left (\frac {1}{2} \, d x + \frac {1}{2} \, c\right )^{2} + a + b\right )}^{2}} - \frac {2 \, C \tan \left (\frac {1}{2} \, d x + \frac {1}{2} \, c\right )}{{\left (\tan \left (\frac {1}{2} \, d x + \frac {1}{2} \, c\right )^{2} + 1\right )} b^{3}}}{d} \]

[In]

integrate(cos(d*x+c)^2*(A+C*cos(d*x+c)^2)/(a+b*cos(d*x+c))^3,x, algorithm="giac")

[Out]

-((6*C*a^6 - 15*C*a^4*b^2 + A*a^2*b^4 + 12*C*a^2*b^4 + 2*A*b^6)*(pi*floor(1/2*(d*x + c)/pi + 1/2)*sgn(-2*a + 2
*b) + arctan(-(a*tan(1/2*d*x + 1/2*c) - b*tan(1/2*d*x + 1/2*c))/sqrt(a^2 - b^2)))/((a^4*b^4 - 2*a^2*b^6 + b^8)
*sqrt(a^2 - b^2)) + 3*(d*x + c)*C*a/b^4 - (4*C*a^6*tan(1/2*d*x + 1/2*c)^3 - 5*C*a^5*b*tan(1/2*d*x + 1/2*c)^3 -
7*C*a^4*b^2*tan(1/2*d*x + 1/2*c)^3 - A*a^3*b^3*tan(1/2*d*x + 1/2*c)^3 + 8*C*a^3*b^3*tan(1/2*d*x + 1/2*c)^3 -
3*A*a^2*b^4*tan(1/2*d*x + 1/2*c)^3 + 4*A*a*b^5*tan(1/2*d*x + 1/2*c)^3 + 4*C*a^6*tan(1/2*d*x + 1/2*c) + 5*C*a^5
*b*tan(1/2*d*x + 1/2*c) - 7*C*a^4*b^2*tan(1/2*d*x + 1/2*c) + A*a^3*b^3*tan(1/2*d*x + 1/2*c) - 8*C*a^3*b^3*tan(
1/2*d*x + 1/2*c) - 3*A*a^2*b^4*tan(1/2*d*x + 1/2*c) - 4*A*a*b^5*tan(1/2*d*x + 1/2*c))/((a^4*b^3 - 2*a^2*b^5 +
b^7)*(a*tan(1/2*d*x + 1/2*c)^2 - b*tan(1/2*d*x + 1/2*c)^2 + a + b)^2) - 2*C*tan(1/2*d*x + 1/2*c)/((tan(1/2*d*x
+ 1/2*c)^2 + 1)*b^3))/d

Mupad [B] (verification not implemented)

Time = 11.83 (sec) , antiderivative size = 7216, normalized size of antiderivative = 27.54 \[ \int \frac {\cos ^2(c+d x) \left (A+C \cos ^2(c+d x)\right )}{(a+b \cos (c+d x))^3} \, dx=\text {Too large to display} \]

[In]

int((cos(c + d*x)^2*(A + C*cos(c + d*x)^2))/(a + b*cos(c + d*x))^3,x)

[Out]

- ((tan(c/2 + (d*x)/2)^5*(2*C*b^5 - 6*C*a^5 + A*a^2*b^3 - 4*C*a^2*b^3 + 12*C*a^3*b^2 + 4*A*a*b^4 - 2*C*a*b^4 +
3*C*a^4*b))/((a*b^3 - b^4)*(a + b)^2) - (tan(c/2 + (d*x)/2)*(6*C*a^5 + 2*C*b^5 + A*a^2*b^3 - 4*C*a^2*b^3 - 12
*C*a^3*b^2 - 4*A*a*b^4 + 2*C*a*b^4 + 3*C*a^4*b))/((a + b)*(b^5 - 2*a*b^4 + a^2*b^3)) + (2*tan(c/2 + (d*x)/2)^3
*(2*C*b^6 - 6*C*a^6 + 3*A*a^2*b^4 - 6*C*a^2*b^4 + 13*C*a^4*b^2))/(b*(a*b^2 - b^3)*(a + b)^2*(a - b)))/(d*(2*a*
b + tan(c/2 + (d*x)/2)^2*(2*a*b + 3*a^2 - b^2) + tan(c/2 + (d*x)/2)^6*(a^2 - 2*a*b + b^2) + a^2 + b^2 - tan(c/
2 + (d*x)/2)^4*(2*a*b - 3*a^2 + b^2))) - (6*C*a*atan(((3*C*a*((8*tan(c/2 + (d*x)/2)*(4*A^2*b^12 + 72*C^2*a^12
- 72*C^2*a^11*b + 4*A^2*a^2*b^10 + A^2*a^4*b^8 + 36*C^2*a^2*b^10 - 72*C^2*a^3*b^9 + 36*C^2*a^4*b^8 + 288*C^2*a
^5*b^7 - 288*C^2*a^6*b^6 - 432*C^2*a^7*b^5 + 441*C^2*a^8*b^4 + 288*C^2*a^9*b^3 - 288*C^2*a^10*b^2 + 48*A*C*a^2
*b^10 - 36*A*C*a^4*b^8 - 6*A*C*a^6*b^6 + 12*A*C*a^8*b^4))/(a*b^12 + b^13 - 3*a^2*b^11 - 3*a^3*b^10 + 3*a^4*b^9
+ 3*a^5*b^8 - a^6*b^7 - a^7*b^6) + (C*a*((8*(4*A*b^18 - 6*A*a^2*b^16 + 6*A*a^3*b^15 + 2*A*a^6*b^12 - 2*A*a^7*
b^11 + 24*C*a^2*b^16 + 36*C*a^3*b^15 - 78*C*a^4*b^14 - 42*C*a^5*b^13 + 96*C*a^6*b^12 + 24*C*a^7*b^11 - 54*C*a^
8*b^10 - 6*C*a^9*b^9 + 12*C*a^10*b^8 - 4*A*a*b^17 - 12*C*a*b^17))/(a*b^15 + b^16 - 3*a^2*b^14 - 3*a^3*b^13 + 3
*a^4*b^12 + 3*a^5*b^11 - a^6*b^10 - a^7*b^9) - (C*a*tan(c/2 + (d*x)/2)*(8*a*b^17 - 8*a^2*b^16 - 32*a^3*b^15 +
32*a^4*b^14 + 48*a^5*b^13 - 48*a^6*b^12 - 32*a^7*b^11 + 32*a^8*b^10 + 8*a^9*b^9 - 8*a^10*b^8)*24i)/(b^4*(a*b^1
2 + b^13 - 3*a^2*b^11 - 3*a^3*b^10 + 3*a^4*b^9 + 3*a^5*b^8 - a^6*b^7 - a^7*b^6)))*3i)/b^4))/b^4 + (3*C*a*((8*t
an(c/2 + (d*x)/2)*(4*A^2*b^12 + 72*C^2*a^12 - 72*C^2*a^11*b + 4*A^2*a^2*b^10 + A^2*a^4*b^8 + 36*C^2*a^2*b^10 -
72*C^2*a^3*b^9 + 36*C^2*a^4*b^8 + 288*C^2*a^5*b^7 - 288*C^2*a^6*b^6 - 432*C^2*a^7*b^5 + 441*C^2*a^8*b^4 + 288
*C^2*a^9*b^3 - 288*C^2*a^10*b^2 + 48*A*C*a^2*b^10 - 36*A*C*a^4*b^8 - 6*A*C*a^6*b^6 + 12*A*C*a^8*b^4))/(a*b^12
+ b^13 - 3*a^2*b^11 - 3*a^3*b^10 + 3*a^4*b^9 + 3*a^5*b^8 - a^6*b^7 - a^7*b^6) - (C*a*((8*(4*A*b^18 - 6*A*a^2*b
^16 + 6*A*a^3*b^15 + 2*A*a^6*b^12 - 2*A*a^7*b^11 + 24*C*a^2*b^16 + 36*C*a^3*b^15 - 78*C*a^4*b^14 - 42*C*a^5*b^
13 + 96*C*a^6*b^12 + 24*C*a^7*b^11 - 54*C*a^8*b^10 - 6*C*a^9*b^9 + 12*C*a^10*b^8 - 4*A*a*b^17 - 12*C*a*b^17))/
(a*b^15 + b^16 - 3*a^2*b^14 - 3*a^3*b^13 + 3*a^4*b^12 + 3*a^5*b^11 - a^6*b^10 - a^7*b^9) + (C*a*tan(c/2 + (d*x
)/2)*(8*a*b^17 - 8*a^2*b^16 - 32*a^3*b^15 + 32*a^4*b^14 + 48*a^5*b^13 - 48*a^6*b^12 - 32*a^7*b^11 + 32*a^8*b^1
0 + 8*a^9*b^9 - 8*a^10*b^8)*24i)/(b^4*(a*b^12 + b^13 - 3*a^2*b^11 - 3*a^3*b^10 + 3*a^4*b^9 + 3*a^5*b^8 - a^6*b
^7 - a^7*b^6)))*3i)/b^4))/b^4)/((16*(108*C^3*a^12 - 54*C^3*a^11*b + 216*C^3*a^4*b^8 + 216*C^3*a^5*b^7 - 702*C^
3*a^6*b^6 - 378*C^3*a^7*b^5 + 864*C^3*a^8*b^4 + 243*C^3*a^9*b^3 - 486*C^3*a^10*b^2 + 12*A^2*C*a*b^11 + 36*A*C^
2*a^2*b^10 + 108*A*C^2*a^3*b^9 - 54*A*C^2*a^4*b^8 - 54*A*C^2*a^5*b^7 - 18*A*C^2*a^7*b^5 + 18*A*C^2*a^8*b^4 + 1
8*A*C^2*a^9*b^3 + 12*A^2*C*a^3*b^9 + 3*A^2*C*a^5*b^7))/(a*b^15 + b^16 - 3*a^2*b^14 - 3*a^3*b^13 + 3*a^4*b^12 +
3*a^5*b^11 - a^6*b^10 - a^7*b^9) + (C*a*((8*tan(c/2 + (d*x)/2)*(4*A^2*b^12 + 72*C^2*a^12 - 72*C^2*a^11*b + 4*
A^2*a^2*b^10 + A^2*a^4*b^8 + 36*C^2*a^2*b^10 - 72*C^2*a^3*b^9 + 36*C^2*a^4*b^8 + 288*C^2*a^5*b^7 - 288*C^2*a^6
*b^6 - 432*C^2*a^7*b^5 + 441*C^2*a^8*b^4 + 288*C^2*a^9*b^3 - 288*C^2*a^10*b^2 + 48*A*C*a^2*b^10 - 36*A*C*a^4*b
^8 - 6*A*C*a^6*b^6 + 12*A*C*a^8*b^4))/(a*b^12 + b^13 - 3*a^2*b^11 - 3*a^3*b^10 + 3*a^4*b^9 + 3*a^5*b^8 - a^6*b
^7 - a^7*b^6) + (C*a*((8*(4*A*b^18 - 6*A*a^2*b^16 + 6*A*a^3*b^15 + 2*A*a^6*b^12 - 2*A*a^7*b^11 + 24*C*a^2*b^16
+ 36*C*a^3*b^15 - 78*C*a^4*b^14 - 42*C*a^5*b^13 + 96*C*a^6*b^12 + 24*C*a^7*b^11 - 54*C*a^8*b^10 - 6*C*a^9*b^9
+ 12*C*a^10*b^8 - 4*A*a*b^17 - 12*C*a*b^17))/(a*b^15 + b^16 - 3*a^2*b^14 - 3*a^3*b^13 + 3*a^4*b^12 + 3*a^5*b^
11 - a^6*b^10 - a^7*b^9) - (C*a*tan(c/2 + (d*x)/2)*(8*a*b^17 - 8*a^2*b^16 - 32*a^3*b^15 + 32*a^4*b^14 + 48*a^5
*b^13 - 48*a^6*b^12 - 32*a^7*b^11 + 32*a^8*b^10 + 8*a^9*b^9 - 8*a^10*b^8)*24i)/(b^4*(a*b^12 + b^13 - 3*a^2*b^1
1 - 3*a^3*b^10 + 3*a^4*b^9 + 3*a^5*b^8 - a^6*b^7 - a^7*b^6)))*3i)/b^4)*3i)/b^4 - (C*a*((8*tan(c/2 + (d*x)/2)*(
4*A^2*b^12 + 72*C^2*a^12 - 72*C^2*a^11*b + 4*A^2*a^2*b^10 + A^2*a^4*b^8 + 36*C^2*a^2*b^10 - 72*C^2*a^3*b^9 + 3
6*C^2*a^4*b^8 + 288*C^2*a^5*b^7 - 288*C^2*a^6*b^6 - 432*C^2*a^7*b^5 + 441*C^2*a^8*b^4 + 288*C^2*a^9*b^3 - 288*
C^2*a^10*b^2 + 48*A*C*a^2*b^10 - 36*A*C*a^4*b^8 - 6*A*C*a^6*b^6 + 12*A*C*a^8*b^4))/(a*b^12 + b^13 - 3*a^2*b^11
- 3*a^3*b^10 + 3*a^4*b^9 + 3*a^5*b^8 - a^6*b^7 - a^7*b^6) - (C*a*((8*(4*A*b^18 - 6*A*a^2*b^16 + 6*A*a^3*b^15
+ 2*A*a^6*b^12 - 2*A*a^7*b^11 + 24*C*a^2*b^16 + 36*C*a^3*b^15 - 78*C*a^4*b^14 - 42*C*a^5*b^13 + 96*C*a^6*b^12
+ 24*C*a^7*b^11 - 54*C*a^8*b^10 - 6*C*a^9*b^9 + 12*C*a^10*b^8 - 4*A*a*b^17 - 12*C*a*b^17))/(a*b^15 + b^16 - 3*
a^2*b^14 - 3*a^3*b^13 + 3*a^4*b^12 + 3*a^5*b^11 - a^6*b^10 - a^7*b^9) + (C*a*tan(c/2 + (d*x)/2)*(8*a*b^17 - 8*
a^2*b^16 - 32*a^3*b^15 + 32*a^4*b^14 + 48*a^5*b^13 - 48*a^6*b^12 - 32*a^7*b^11 + 32*a^8*b^10 + 8*a^9*b^9 - 8*a
^10*b^8)*24i)/(b^4*(a*b^12 + b^13 - 3*a^2*b^11 - 3*a^3*b^10 + 3*a^4*b^9 + 3*a^5*b^8 - a^6*b^7 - a^7*b^6)))*3i)
/b^4)*3i)/b^4)))/(b^4*d) - (atan(((((8*tan(c/2 + (d*x)/2)*(4*A^2*b^12 + 72*C^2*a^12 - 72*C^2*a^11*b + 4*A^2*a^
2*b^10 + A^2*a^4*b^8 + 36*C^2*a^2*b^10 - 72*C^2*a^3*b^9 + 36*C^2*a^4*b^8 + 288*C^2*a^5*b^7 - 288*C^2*a^6*b^6 -
432*C^2*a^7*b^5 + 441*C^2*a^8*b^4 + 288*C^2*a^9*b^3 - 288*C^2*a^10*b^2 + 48*A*C*a^2*b^10 - 36*A*C*a^4*b^8 - 6
*A*C*a^6*b^6 + 12*A*C*a^8*b^4))/(a*b^12 + b^13 - 3*a^2*b^11 - 3*a^3*b^10 + 3*a^4*b^9 + 3*a^5*b^8 - a^6*b^7 - a
^7*b^6) + (((8*(4*A*b^18 - 6*A*a^2*b^16 + 6*A*a^3*b^15 + 2*A*a^6*b^12 - 2*A*a^7*b^11 + 24*C*a^2*b^16 + 36*C*a^
3*b^15 - 78*C*a^4*b^14 - 42*C*a^5*b^13 + 96*C*a^6*b^12 + 24*C*a^7*b^11 - 54*C*a^8*b^10 - 6*C*a^9*b^9 + 12*C*a^
10*b^8 - 4*A*a*b^17 - 12*C*a*b^17))/(a*b^15 + b^16 - 3*a^2*b^14 - 3*a^3*b^13 + 3*a^4*b^12 + 3*a^5*b^11 - a^6*b
^10 - a^7*b^9) - (4*tan(c/2 + (d*x)/2)*(-(a + b)^5*(a - b)^5)^(1/2)*(2*A*b^6 + 6*C*a^6 + A*a^2*b^4 + 12*C*a^2*
b^4 - 15*C*a^4*b^2)*(8*a*b^17 - 8*a^2*b^16 - 32*a^3*b^15 + 32*a^4*b^14 + 48*a^5*b^13 - 48*a^6*b^12 - 32*a^7*b^
11 + 32*a^8*b^10 + 8*a^9*b^9 - 8*a^10*b^8))/((b^14 - 5*a^2*b^12 + 10*a^4*b^10 - 10*a^6*b^8 + 5*a^8*b^6 - a^10*
b^4)*(a*b^12 + b^13 - 3*a^2*b^11 - 3*a^3*b^10 + 3*a^4*b^9 + 3*a^5*b^8 - a^6*b^7 - a^7*b^6)))*(-(a + b)^5*(a -
b)^5)^(1/2)*(2*A*b^6 + 6*C*a^6 + A*a^2*b^4 + 12*C*a^2*b^4 - 15*C*a^4*b^2))/(2*(b^14 - 5*a^2*b^12 + 10*a^4*b^10
- 10*a^6*b^8 + 5*a^8*b^6 - a^10*b^4)))*(-(a + b)^5*(a - b)^5)^(1/2)*(2*A*b^6 + 6*C*a^6 + A*a^2*b^4 + 12*C*a^2
*b^4 - 15*C*a^4*b^2)*1i)/(2*(b^14 - 5*a^2*b^12 + 10*a^4*b^10 - 10*a^6*b^8 + 5*a^8*b^6 - a^10*b^4)) + (((8*tan(
c/2 + (d*x)/2)*(4*A^2*b^12 + 72*C^2*a^12 - 72*C^2*a^11*b + 4*A^2*a^2*b^10 + A^2*a^4*b^8 + 36*C^2*a^2*b^10 - 72
*C^2*a^3*b^9 + 36*C^2*a^4*b^8 + 288*C^2*a^5*b^7 - 288*C^2*a^6*b^6 - 432*C^2*a^7*b^5 + 441*C^2*a^8*b^4 + 288*C^
2*a^9*b^3 - 288*C^2*a^10*b^2 + 48*A*C*a^2*b^10 - 36*A*C*a^4*b^8 - 6*A*C*a^6*b^6 + 12*A*C*a^8*b^4))/(a*b^12 + b
^13 - 3*a^2*b^11 - 3*a^3*b^10 + 3*a^4*b^9 + 3*a^5*b^8 - a^6*b^7 - a^7*b^6) - (((8*(4*A*b^18 - 6*A*a^2*b^16 + 6
*A*a^3*b^15 + 2*A*a^6*b^12 - 2*A*a^7*b^11 + 24*C*a^2*b^16 + 36*C*a^3*b^15 - 78*C*a^4*b^14 - 42*C*a^5*b^13 + 96
*C*a^6*b^12 + 24*C*a^7*b^11 - 54*C*a^8*b^10 - 6*C*a^9*b^9 + 12*C*a^10*b^8 - 4*A*a*b^17 - 12*C*a*b^17))/(a*b^15
+ b^16 - 3*a^2*b^14 - 3*a^3*b^13 + 3*a^4*b^12 + 3*a^5*b^11 - a^6*b^10 - a^7*b^9) + (4*tan(c/2 + (d*x)/2)*(-(a
+ b)^5*(a - b)^5)^(1/2)*(2*A*b^6 + 6*C*a^6 + A*a^2*b^4 + 12*C*a^2*b^4 - 15*C*a^4*b^2)*(8*a*b^17 - 8*a^2*b^16
- 32*a^3*b^15 + 32*a^4*b^14 + 48*a^5*b^13 - 48*a^6*b^12 - 32*a^7*b^11 + 32*a^8*b^10 + 8*a^9*b^9 - 8*a^10*b^8))
/((b^14 - 5*a^2*b^12 + 10*a^4*b^10 - 10*a^6*b^8 + 5*a^8*b^6 - a^10*b^4)*(a*b^12 + b^13 - 3*a^2*b^11 - 3*a^3*b^
10 + 3*a^4*b^9 + 3*a^5*b^8 - a^6*b^7 - a^7*b^6)))*(-(a + b)^5*(a - b)^5)^(1/2)*(2*A*b^6 + 6*C*a^6 + A*a^2*b^4
+ 12*C*a^2*b^4 - 15*C*a^4*b^2))/(2*(b^14 - 5*a^2*b^12 + 10*a^4*b^10 - 10*a^6*b^8 + 5*a^8*b^6 - a^10*b^4)))*(-(
a + b)^5*(a - b)^5)^(1/2)*(2*A*b^6 + 6*C*a^6 + A*a^2*b^4 + 12*C*a^2*b^4 - 15*C*a^4*b^2)*1i)/(2*(b^14 - 5*a^2*b
^12 + 10*a^4*b^10 - 10*a^6*b^8 + 5*a^8*b^6 - a^10*b^4)))/((16*(108*C^3*a^12 - 54*C^3*a^11*b + 216*C^3*a^4*b^8
+ 216*C^3*a^5*b^7 - 702*C^3*a^6*b^6 - 378*C^3*a^7*b^5 + 864*C^3*a^8*b^4 + 243*C^3*a^9*b^3 - 486*C^3*a^10*b^2 +
12*A^2*C*a*b^11 + 36*A*C^2*a^2*b^10 + 108*A*C^2*a^3*b^9 - 54*A*C^2*a^4*b^8 - 54*A*C^2*a^5*b^7 - 18*A*C^2*a^7*
b^5 + 18*A*C^2*a^8*b^4 + 18*A*C^2*a^9*b^3 + 12*A^2*C*a^3*b^9 + 3*A^2*C*a^5*b^7))/(a*b^15 + b^16 - 3*a^2*b^14 -
3*a^3*b^13 + 3*a^4*b^12 + 3*a^5*b^11 - a^6*b^10 - a^7*b^9) + (((8*tan(c/2 + (d*x)/2)*(4*A^2*b^12 + 72*C^2*a^1
2 - 72*C^2*a^11*b + 4*A^2*a^2*b^10 + A^2*a^4*b^8 + 36*C^2*a^2*b^10 - 72*C^2*a^3*b^9 + 36*C^2*a^4*b^8 + 288*C^2
*a^5*b^7 - 288*C^2*a^6*b^6 - 432*C^2*a^7*b^5 + 441*C^2*a^8*b^4 + 288*C^2*a^9*b^3 - 288*C^2*a^10*b^2 + 48*A*C*a
^2*b^10 - 36*A*C*a^4*b^8 - 6*A*C*a^6*b^6 + 12*A*C*a^8*b^4))/(a*b^12 + b^13 - 3*a^2*b^11 - 3*a^3*b^10 + 3*a^4*b
^9 + 3*a^5*b^8 - a^6*b^7 - a^7*b^6) + (((8*(4*A*b^18 - 6*A*a^2*b^16 + 6*A*a^3*b^15 + 2*A*a^6*b^12 - 2*A*a^7*b^
11 + 24*C*a^2*b^16 + 36*C*a^3*b^15 - 78*C*a^4*b^14 - 42*C*a^5*b^13 + 96*C*a^6*b^12 + 24*C*a^7*b^11 - 54*C*a^8*
b^10 - 6*C*a^9*b^9 + 12*C*a^10*b^8 - 4*A*a*b^17 - 12*C*a*b^17))/(a*b^15 + b^16 - 3*a^2*b^14 - 3*a^3*b^13 + 3*a
^4*b^12 + 3*a^5*b^11 - a^6*b^10 - a^7*b^9) - (4*tan(c/2 + (d*x)/2)*(-(a + b)^5*(a - b)^5)^(1/2)*(2*A*b^6 + 6*C
*a^6 + A*a^2*b^4 + 12*C*a^2*b^4 - 15*C*a^4*b^2)*(8*a*b^17 - 8*a^2*b^16 - 32*a^3*b^15 + 32*a^4*b^14 + 48*a^5*b^
13 - 48*a^6*b^12 - 32*a^7*b^11 + 32*a^8*b^10 + 8*a^9*b^9 - 8*a^10*b^8))/((b^14 - 5*a^2*b^12 + 10*a^4*b^10 - 10
*a^6*b^8 + 5*a^8*b^6 - a^10*b^4)*(a*b^12 + b^13 - 3*a^2*b^11 - 3*a^3*b^10 + 3*a^4*b^9 + 3*a^5*b^8 - a^6*b^7 -
a^7*b^6)))*(-(a + b)^5*(a - b)^5)^(1/2)*(2*A*b^6 + 6*C*a^6 + A*a^2*b^4 + 12*C*a^2*b^4 - 15*C*a^4*b^2))/(2*(b^1
4 - 5*a^2*b^12 + 10*a^4*b^10 - 10*a^6*b^8 + 5*a^8*b^6 - a^10*b^4)))*(-(a + b)^5*(a - b)^5)^(1/2)*(2*A*b^6 + 6*
C*a^6 + A*a^2*b^4 + 12*C*a^2*b^4 - 15*C*a^4*b^2))/(2*(b^14 - 5*a^2*b^12 + 10*a^4*b^10 - 10*a^6*b^8 + 5*a^8*b^6
- a^10*b^4)) - (((8*tan(c/2 + (d*x)/2)*(4*A^2*b^12 + 72*C^2*a^12 - 72*C^2*a^11*b + 4*A^2*a^2*b^10 + A^2*a^4*b
^8 + 36*C^2*a^2*b^10 - 72*C^2*a^3*b^9 + 36*C^2*a^4*b^8 + 288*C^2*a^5*b^7 - 288*C^2*a^6*b^6 - 432*C^2*a^7*b^5 +
441*C^2*a^8*b^4 + 288*C^2*a^9*b^3 - 288*C^2*a^10*b^2 + 48*A*C*a^2*b^10 - 36*A*C*a^4*b^8 - 6*A*C*a^6*b^6 + 12*
A*C*a^8*b^4))/(a*b^12 + b^13 - 3*a^2*b^11 - 3*a^3*b^10 + 3*a^4*b^9 + 3*a^5*b^8 - a^6*b^7 - a^7*b^6) - (((8*(4*
A*b^18 - 6*A*a^2*b^16 + 6*A*a^3*b^15 + 2*A*a^6*b^12 - 2*A*a^7*b^11 + 24*C*a^2*b^16 + 36*C*a^3*b^15 - 78*C*a^4*
b^14 - 42*C*a^5*b^13 + 96*C*a^6*b^12 + 24*C*a^7*b^11 - 54*C*a^8*b^10 - 6*C*a^9*b^9 + 12*C*a^10*b^8 - 4*A*a*b^1
7 - 12*C*a*b^17))/(a*b^15 + b^16 - 3*a^2*b^14 - 3*a^3*b^13 + 3*a^4*b^12 + 3*a^5*b^11 - a^6*b^10 - a^7*b^9) + (
4*tan(c/2 + (d*x)/2)*(-(a + b)^5*(a - b)^5)^(1/2)*(2*A*b^6 + 6*C*a^6 + A*a^2*b^4 + 12*C*a^2*b^4 - 15*C*a^4*b^2
)*(8*a*b^17 - 8*a^2*b^16 - 32*a^3*b^15 + 32*a^4*b^14 + 48*a^5*b^13 - 48*a^6*b^12 - 32*a^7*b^11 + 32*a^8*b^10 +
8*a^9*b^9 - 8*a^10*b^8))/((b^14 - 5*a^2*b^12 + 10*a^4*b^10 - 10*a^6*b^8 + 5*a^8*b^6 - a^10*b^4)*(a*b^12 + b^1
3 - 3*a^2*b^11 - 3*a^3*b^10 + 3*a^4*b^9 + 3*a^5*b^8 - a^6*b^7 - a^7*b^6)))*(-(a + b)^5*(a - b)^5)^(1/2)*(2*A*b
^6 + 6*C*a^6 + A*a^2*b^4 + 12*C*a^2*b^4 - 15*C*a^4*b^2))/(2*(b^14 - 5*a^2*b^12 + 10*a^4*b^10 - 10*a^6*b^8 + 5*
a^8*b^6 - a^10*b^4)))*(-(a + b)^5*(a - b)^5)^(1/2)*(2*A*b^6 + 6*C*a^6 + A*a^2*b^4 + 12*C*a^2*b^4 - 15*C*a^4*b^
2))/(2*(b^14 - 5*a^2*b^12 + 10*a^4*b^10 - 10*a^6*b^8 + 5*a^8*b^6 - a^10*b^4))))*(-(a + b)^5*(a - b)^5)^(1/2)*(
2*A*b^6 + 6*C*a^6 + A*a^2*b^4 + 12*C*a^2*b^4 - 15*C*a^4*b^2)*1i)/(d*(b^14 - 5*a^2*b^12 + 10*a^4*b^10 - 10*a^6*
b^8 + 5*a^8*b^6 - a^10*b^4))